интеграл с pi/2 до pi от 4cot(x/3)

Решение

\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 cot (\frac{x}{3}) d x

6 ln (3)

Обозначение десятичными цифрами

6.59167 \dots

Шаги решения

\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 cot (\frac{x}{3}) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{π} cot (\frac{x}{3}) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 4 \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{cos ( \frac{x}{3} )}{sin ( \frac{x}{3} )} d x

Применить подстановку интеграла

: \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{u} d u

= 4 \cdot \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{3}{u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 3 \cdot \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u} d u

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= 4 \cdot 3 [ln ∣ u ∣]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}

После упрощения получаем

= 12 [ln ∣ u ∣]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}

Вычислить границы:

\frac{1}{2} ln (3)

= 12 \cdot \frac{1}{2} ln (3)

После упрощения получаем

= 6 ln (3)