интеграл от xsqrt(x^4-9)

Решение

\int x x^{4} - 9 d x

\frac{1}{4} (x^{2} x^{4} - 9 - 9 ln (\frac{x ^{2} + x ^{4} - 9}{3})) + C

Шаги решения

\int x x^{4} - 9 d x

Упростите

x^{4} : (x^{2})^{2}

= \int x (x^{2})^{2} - 9 d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{u ^{2} - 9}{2} d u

= \int \frac{u ^{2} - 9}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u^{2} - 9 d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int 9 tan^{2} (v) sec (v) d v

= \frac{1}{2} \cdot \int 9 tan^{2} (v) sec (v) d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Расширить

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 9 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= \frac{1}{2} \cdot 9 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} \cdot 9 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})))

Упростите

\frac{1}{2} \cdot 9 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x^{2})) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x^{2}))) : \frac{1}{4} (x^{2} x^{4} - 9 - 9 ln (\frac{x ^{2} + x ^{4} - 9}{3}))

= \frac{1}{4} (x^{2} x^{4} - 9 - 9 ln (\frac{x ^{2} + x ^{4} - 9}{3}))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{4} (x^{2} x^{4} - 9 - 9 ln (\frac{x ^{2} + x ^{4} - 9}{3})) + C