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integral de 1/((1+cos^2(x)))

Solución

\int \frac{1}{( 1 + cos ^{2} ( x ) )} d x

\frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2}) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \int \frac{2}{cos ( 2 x ) + 3} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ( 2 x ) + 3} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 3 )} d u

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 3 )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ( u ) + 3} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v

Aplicar integración por sustitución

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 ( w ^{2} + 1 )} d w

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Aplicar la regla de integración:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (w)

Sustitución hacia atrás

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{2})

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{2}) : \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2})

= \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2})

Agregar una constante a la solución

= \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( x )}{2}) + C

e^{\frac{x}{2}}

3 x^{2} - 4

\frac{d y}{d x}, y^{3} = 4 x

\int (y ln (y)) d y