integral of ((x^2))/(sqrt(4-x^2))

Lösung

\int \frac{( x ^{2} )}{4 - x ^{2}} d x

2 arcsin (\frac{1}{2} x) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{4 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

ein

= 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) : 2 arcsin (\frac{1}{2} x) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

\int \frac{5}{( x - 2 ) ( x ^{2} - 1 )} d x

\int \frac{e ^{x^{\frac{1}{2}}}}{x ^{\frac{1}{2}}} d x

\frac{d}{d x} ((6 x)^{2 x})

\int \frac{2}{t ^{2} + 1} d t

\frac{\partial}{\partial x} (x y cos (3 yz))