inverselaplace 7/(s^3+2s^2+9s+18)

解

逆ラプラス

\frac{7}{s ^{3} + 2 s ^{2} + 9 s + 18}

\frac{7}{13} e^{- 2 t} - \frac{7}{13} cos (3 t) + \frac{14}{39} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{7}{s ^{3} + 2 s ^{2} + 9 s + 18}}

以下の部分分数を得る:

\frac{7}{s ^{3} + 2 s ^{2} + 9 s + 18} : \frac{7}{13 ( s + 2 )} + \frac{- 7 s + 14}{13 ( s ^{2} + 9 )}

= L^{- 1} {\frac{7}{13 ( s + 2 )} + \frac{- 7 s + 14}{13 ( s ^{2} + 9 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{7 s}{13 ( s ^{2} + 9 )} + \frac{7}{13 ( s + 2 )} + \frac{14}{13 ( s ^{2} + 9 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{7}{13} L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} - \frac{7}{13} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} + \frac{14}{13} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} : e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} : cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}} : \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{7}{13} e^{- 2 t} - \frac{7}{13} cos (3 t) + \frac{14}{13} \cdot \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

\frac{7}{13} e^{- 2 t} - \frac{7}{13} cos (3 t) + \frac{14}{13} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{7}{13} e^{- 2 t} - \frac{7}{13} cos (3 t) + \frac{14}{39} sin (3 t)

= \frac{7}{13} e^{- 2 t} - \frac{7}{13} cos (3 t) + \frac{14}{39} sin (3 t)