テイラー x/(e^x-1)

解

テイラー

\frac{x}{e ^{x} - 1}

\frac{1}{e - 1} - \frac{1}{( e - 1 ) ^{2}} (x - 1) - \frac{e ^{2} - 3 e}{2 ( e - 1 ) ^{3}} (x - 1)^{2} + \frac{2 e ^{3} - 4 e ^{2} - 4 e}{6 ( e - 1 ) ^{4}} (x - 1)^{3} - \frac{3 e ^{4} + e ^{3} - 23 e ^{2} - 5 e}{24 ( e - 1 ) ^{5}} (x - 1)^{4} + \dots

解答ステップ

テイラーの公式を適用する

= \frac{1}{e - 1} + \frac{\frac{d}{d x} ( \frac{x}{e ^{x} - 1} ) ( 1 )}{1 !} (x - 1) + \frac{\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} ( \frac{x}{e ^{x} - 1} ) ( 1 )}{2 !} (x - 1)^{2} + \frac{\frac{d ^{3}}{d x ^{3}} ( \frac{x}{e ^{x} - 1} ) ( 1 )}{3 !} (x - 1)^{3} + \dots

導関数を評価する

= \frac{1}{e - 1} + \frac{- \frac{1}{( e - 1 ) ^{2}}}{1 !} (x - 1) + \frac{- \frac{e ^{2} - 3 e}{( e - 1 ) ^{3}}}{2 !} (x - 1)^{2} + \frac{\frac{2 e ^{3} - 4 e ^{2} - 4 e}{( e - 1 ) ^{4}}}{3 !} (x - 1)^{3} + \frac{- \frac{3 e ^{4} + e ^{3} - 23 e ^{2} - 5 e}{( e - 1 ) ^{5}}}{4 !} (x - 1)^{4} + \dots

改良

= \frac{1}{e - 1} - \frac{1}{( e - 1 ) ^{2}} (x - 1) - \frac{e ^{2} - 3 e}{2 ( e - 1 ) ^{3}} (x - 1)^{2} + \frac{2 e ^{3} - 4 e ^{2} - 4 e}{6 ( e - 1 ) ^{4}} (x - 1)^{3} - \frac{3 e ^{4} + e ^{3} - 23 e ^{2} - 5 e}{24 ( e - 1 ) ^{5}} (x - 1)^{4} + \dots