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人気のある微分積分 >

integral of x/(x^2-2x+5)

解

\int \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 5} d x

解

\frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 5 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x - 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 5} d x

平方完成する

x^{2} - 2 x + 5 : (x - 1)^{2} + 4

= \int \frac{x}{( x - 1 ) ^{2} + 4} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u + 1}{u ^{2} + 4} d u

拡張

\frac{u + 1}{u ^{2} + 4} : \frac{u}{u ^{2} + 4} + \frac{1}{u ^{2} + 4}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{u ^{2} + 4} d u + \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

\int \frac{u}{u ^{2} + 4} d u = \frac{1}{2} ln u^{2} + 4

\int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u = \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

= \frac{1}{2} ln u^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

代用を戻す

u = x - 1

= \frac{1}{2} ln (x - 1)^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 1}{2})

簡素化

\frac{1}{2} ln (x - 1)^{2} + 4 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 1}{2}) : \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 5 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x - 1))

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 5 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x - 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 2 x + 5 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x - 1)) + C

グラフ

人気の例

derivative of arccot(x/4)

\frac{d}{d x} (arccot (\frac{x}{4}))

integral of (y^3)/((2+3y^4)^3)

\int \frac{y ^{3}}{( 2 + 3 y ^{4} ) ^{3}} d y

derivative sin(tan(3x))

d er i v a t i v e sin (tan (3 x))

derivative log_{4}(e^{2x}cos(3x))

d er i v a t i v e lo g_{4} (e^{2 x} cos (3 x))

tangent (30x^2)/((-5x^3+4)^3)

t an g e n t \frac{30 x ^{2}}{( - 5 x ^{3} + 4 ) ^{3}}