integral of (e^x)/(4-e^{2x)}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{4 - e ^{2 x}} d x

\frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{4 - e ^{2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{4 - u ^{2}} d u

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (\frac{ln \frac{e ^{x}}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x}}{2} - 1}{2})

Vereinfache

\frac{1}{2} (\frac{ln \frac{e ^{x}}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x}}{2} - 1}{2}) : \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1)

= \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1) + C

d er i v a t i v e \frac{- 2 x ^{2} + x + 4}{x ^{2} + 4 x - 1}

\int (6 - x) d x

\int_{0}^{3} cos (\frac{π x}{3}) d x

x \to 0 lim ((1 - x)^{\frac{5}{x}})

d er i v a t i v e f (x) = sin^{2} (x^{2})