интеграл с 0 до 1 от sin^3(pi/2 x)

Решение

\int_{0}^{1} sin^{3} (\frac{π}{2} x) d x

\frac{4}{3 π}

десятичными цифрами

0.42441 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{1} sin^{3} (\frac{π}{2} x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int_{0}^{1} (1 - cos^{2} (\frac{π}{2} x)) sin (\frac{π}{2} x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{1}^{c o s (1)} - \frac{sin ^{3} ( \frac{π a r c c o s ( u )}{2} )}{1 - u ^{2}} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - \int_{c o s (1)}^{1} - \frac{sin ^{3} ( \frac{π a r c c o s ( u )}{2} )}{1 - u ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - - \int_{c o s (1)}^{1} \frac{sin ^{3} ( \frac{π a r c c o s ( u )}{2} )}{1 - u ^{2}} d u

Применить подстановку интеграла

= - (- \int_{1}^{0} - sin^{3} (\frac{π v}{2}) d v)

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - (- (- \int_{0}^{1} - sin^{3} (\frac{π v}{2}) d v))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- (- (- \int_{0}^{1} sin^{3} (\frac{π v}{2}) d v)))

Применить интегрирование по частям

= - (- (- (- [sin^{3} (\frac{π v}{2}) v - \int \frac{3 π}{2} sin^{2} (\frac{π v}{2}) cos (\frac{π v}{2}) v d v]_{0}^{1})))

\int \frac{3 π}{2} sin^{2} (\frac{π v}{2}) cos (\frac{π v}{2}) v d v = v sin^{3} (\frac{π v}{2}) - \frac{2}{3 π} (cos^{3} (\frac{π v}{2}) - 3 cos (\frac{π v}{2}))

= - (- (- (- [sin^{3} (\frac{π v}{2}) v - (v sin^{3} (\frac{π v}{2}) - \frac{2}{3 π} (cos^{3} (\frac{π v}{2}) - 3 cos (\frac{π v}{2})))]_{0}^{1})))

Упростите

- (- (- (- [sin^{3} (\frac{π v}{2}) v - (v sin^{3} (\frac{π v}{2}) - \frac{2}{3 π} (cos^{3} (\frac{π v}{2}) - 3 cos (\frac{π v}{2})))]_{0}^{1}))) : [\frac{2}{3 π} cos^{3} (\frac{π v}{2}) - \frac{2}{π} cos (\frac{π v}{2})]_{0}^{1}

= [\frac{2}{3 π} cos^{3} (\frac{π v}{2}) - \frac{2}{π} cos (\frac{π v}{2})]_{0}^{1}

Вычислить границы:

\frac{4}{3 π}

= \frac{4}{3 π}