integral of (x^2-1)/(x^3+x^2+x)

解

\int \frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} + x ^{2} + x} d x

- ln ∣ x ∣ + ln x^{2} + x + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} + x ^{2} + x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} + x ^{2} + x} : - \frac{1}{x} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1}

= \int - \frac{1}{x} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1} d x

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣

\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1} d x = ln x^{2} + x + 1

= - ln ∣ x ∣ + ln x^{2} + x + 1

定数を解答に追加する

= - ln ∣ x ∣ + ln x^{2} + x + 1 + C