integral of 2piy(8-y^{3/2})

解

\int 2 π y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y

2 π (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C

解答ステップ

\int 2 π y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 π \cdot \int y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y

拡張

y (8 - y^{\frac{3}{2}}) : 8 y - y^{\frac{5}{2}}

= 2 π \cdot \int 8 y - y^{\frac{5}{2}} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 π (\int 8 y d y - \int y^{\frac{5}{2}} d y)

\int 8 y d y = 4 y^{2}

\int y^{\frac{5}{2}} d y = \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}

= 2 π (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}})

定数を解答に追加する

= 2 π (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C