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integral of sin(t)e^{-2/3 t}

解答

\int sin (t) e^{- \frac{2}{3} t} d t

解答

- \frac{5}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \frac{6}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) + \frac{9}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) + C

求解步骤

\int sin (t) e^{- \frac{2}{3} t} d t

使用分布积分法

= - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \int \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \frac{2}{3} \cdot \int e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t

使用分布积分法

= - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \frac{2}{3} (e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) - \int - \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) d t)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \frac{2}{3} (e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) - (- \frac{2}{3} \cdot \int e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) d t))

使用分布积分法

= - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \frac{2}{3} (e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) - (- \frac{2}{3} (- e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \int \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t)))

因此

- \int \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t - cos (t) e^{- \frac{2}{3} t} = - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) - \frac{2}{3} (e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) - (- \frac{2}{3} (- e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \int \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t)))

整理

\int \frac{2}{3} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) d t

= - (\frac{5 e ^{- \frac{2 t}{3}} cos ( t )}{13} + \frac{6 e ^{- \frac{2 t}{3}} sin ( t )}{13} - \frac{9 e ^{- \frac{2 t}{3}} cos ( t )}{13}) - cos (t) e^{- \frac{2}{3} t}

化简

- (\frac{5 e ^{- \frac{2 t}{3}} cos ( t )}{13} + \frac{6 e ^{- \frac{2 t}{3}} sin ( t )}{13} - \frac{9 e ^{- \frac{2 t}{3}} cos ( t )}{13}) - cos (t) e^{- \frac{2}{3} t} : - \frac{5}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \frac{6}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) + \frac{9}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t)

= - \frac{5}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \frac{6}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) + \frac{9}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t)

解答补常数

= - \frac{5}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - \frac{6}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} sin (t) + \frac{9}{13} e^{- \frac{2 t}{3}} cos (t) - e^{- \frac{2}{3} t} cos (t) + C

作图

流行的例子

integral from 1 to 2 of x^2e^{x^3-1}

\int_{1}^{2} x^{2} e^{x^{3} - 1} d x

sum from n=1 to infinity of 1/(\sqrt[n]{2)}

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n 2}

y^{''}+9y=(sec(3t))^2

y^{^{''}} + 9 y = (sec (3 t))^{2}

(dy}{dx}+(2y)/x =\frac{sin(x))/(x^2)

\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{sin ( x )}{x ^{2}}

laplacetransform te^{-t}

l a pl a ce t r an s f or m t e^{- t}