integral of (y-2)/(y(y-4)(y+3))

解答

\int \frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

\frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣ + C

求解步骤

\int \frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

乘开

\frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} : \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} - \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y - \int \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

\int \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y = \frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣

\int \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y = 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣)

= \frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣ - 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣)

化简

\frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣ - 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣) : \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣

= \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣

解答补常数

= \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣ + C

d er i v a t i v e \frac{( x ^{2} - 4 )}{x}

\frac{d}{d x} ((ln (x + 1)) 2 - e^{x^{2}})

\int \frac{2}{4 + x ^{2}} d x

a re a y = \frac{1}{x}, y = x, y = 2

\int 2^{x} ln (2) d x