laplacetransform (1-e^t+3e^{-4t})cos(5t)

解

ラプラス変換

(1 - e^{t} + 3 e^{- 4 t}) cos (5 t)

\frac{s}{s ^{2} + 25} - \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25} + \frac{3 ( s + 4 )}{( s + 4 ) ^{2} + 25}

解答ステップ

L {cos (5 t) (- e^{t} + 3 e^{- 4 t} + 1)}

拡張

(1 - e^{t} + 3 e^{- 4 t}) cos (5 t) : cos (5 t) - e^{t} cos (5 t) + 3 e^{- 4 t} cos (5 t)

= L {cos (5 t) - e^{t} cos (5 t) + 3 e^{- 4 t} cos (5 t)}

ラプラス変形の線形性を使用する:

関数

f (t), g (t)

と定数

a, b : L {a \cdot f (t) + b \cdot g (t)} = a \cdot L {f (t)} + b \cdot L {g (t)}

= L {cos (5 t)} - L {e^{t} cos (5 t)} + 3 L {e^{- 4 t} cos (5 t)}

L {cos (5 t)} : \frac{s}{s ^{2} + 25}

L {e^{t} cos (5 t)} : \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25}

L {e^{- 4 t} cos (5 t)} : \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 25}

= \frac{s}{s ^{2} + 25} - \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25} + 3 \cdot \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 25}

改良

\frac{s}{s ^{2} + 25} - \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25} + 3 \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 25} : \frac{s}{s ^{2} + 25} - \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25} + \frac{3 ( s + 4 )}{( s + 4 ) ^{2} + 25}

= \frac{s}{s ^{2} + 25} - \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 25} + \frac{3 ( s + 4 )}{( s + 4 ) ^{2} + 25}