inverselaplace 1/(s^3+s^2+s)

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{1}{s ^{3} + s ^{2} + s}

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3} + s ^{2} + s}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{s ^{3} + s ^{2} + s} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 1}}

Schreibe

\frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 1}

um:

- \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

Fasse

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

zusammen:

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

d er i v a t i v e y = x^{3} - x

d er i v a t i v e f (x) = cos (4 t + 12)

x \to 0 lim (\frac{y ^{1 - x}}{1 - x})

y^{^{''}} - 6 y^{^{'}} + 2 y = 0, y (0) = 0, y^{^{'}} (0) = 1

x \to 5 lim (x^{2} + 4)