integral of (x^5+x^2+2)/(x^3-x)

解

\int \frac{x ^{5} + x ^{2} + 2}{x ^{3} - x} d x

\frac{x ^{3}}{3} + x - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 1 ∣ + 2 ln ∣ x - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{5} + x ^{2} + 2}{x ^{3} - x} d x

長除法

\frac{x ^{5} + x ^{2} + 2}{x ^{3} - x} : x^{2} + 1 + \frac{x ^{2} + x + 2}{x ^{3} - x}

= \int x^{2} + 1 + \frac{x ^{2} + x + 2}{x ^{3} - x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} d x + \int 1 d x + \int \frac{x ^{2} + x + 2}{x ^{3} - x} d x

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

\int 1 d x = x

\int \frac{x ^{2} + x + 2}{x ^{3} - x} d x = - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 1 ∣ + 2 ln ∣ x - 1 ∣

= \frac{x ^{3}}{3} + x - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 1 ∣ + 2 ln ∣ x - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} + x - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 1 ∣ + 2 ln ∣ x - 1 ∣ + C