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integral of e^{-x/4}sin(pi/4 x)

解答

\int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π}{4} x) d x

解答

- \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) + C

求解步骤

\int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π}{4} x) d x

使用分布积分法

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \int \frac{1}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) d x

使用分布积分法

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - \int - \frac{1}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) d x)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) d x))

使用换元积分法

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot \int 4 e^{- u} sin (π u) d u))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u))

使用分布积分法

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \int \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) d u)))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} cos (π u) d u)))

使用分布积分法

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - \int - \frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) d u))))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))))

因此

- (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} = - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))))

整理

\int e^{- u} sin (π u) d u

= - (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- u} cos ( π u )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- u} sin ( π u )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}}

u = \frac{x}{4}

代回

= - (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- \frac{x}{4}} cos ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{x}{4}} sin ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}}

化简

- (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- \frac{x}{4}} cos ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{x}{4}} sin ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} : - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x)

= - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x)

解答补常数

= - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) + C

作图

流行的例子

integral from 0 to 4 of pi(16-x^2)

\int_{0}^{4} π (16 - x^{2}) d x

(dy)/(dx)=2(1+y^2)x

\frac{d y}{d x} = 2 (1 + y^{2}) x

derivative of arcsin(1/(e^x))

\frac{d}{d x} (arcsin (\frac{1}{e ^{x}}))

derivative of (2+sin(x)/x)

\frac{d}{d x} (\frac{2 + sin ( x )}{x})

tangent f(x)=2x^3-5x,\at x=-1

t an g e n t f (x) = 2 x^{3} - 5 x, at x = - 1