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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 4/(s(s^2+2s+4))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{4}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

解答

H (t) - e^{- t} cos (3 t) - \frac{1}{3} e^{- t} sin (3 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{4}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}}

将

\frac{4}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

用部份分式展开:

\frac{1}{s} + \frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 4}}

展开

\frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 4} : - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= H (t) - e^{- t} cos (3 t) - 1 \cdot e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

整理

H (t) - e^{- t} cos (3 t) - 1 e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t) : H (t) - e^{- t} cos (3 t) - \frac{1}{3} e^{- t} sin (3 t)

= H (t) - e^{- t} cos (3 t) - \frac{1}{3} e^{- t} sin (3 t)

流行的例子

limit as x approaches-8 of 3x+1

x \to - 8 lim (3 x + 1)

derivative of cos^2(x+1)

\frac{d}{d x} (cos^{2} (x) + 1)

limit as x approaches 5 of (x+2)/(x^2-5)

x \to 5 lim (\frac{x + 2}{x ^{2} - 5})

derivative of 2-cosh(x-1)

\frac{d}{d x} (2 - cosh (x - 1))

y^{^{'}} = 8 x - y