integral of (y^2+1)/((y-1)^2(y+1))

解答

\int \frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

\frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1} + C

求解步骤

\int \frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

乘开

\frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} : \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} + \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y + \int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

\int \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y = \frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

\int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y = - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

= \frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

化简

\frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ : \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1}

= \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1}

解答补常数

= \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1} + C

\frac{\partial}{\partial z} (y sin (x z))

t \to - 1 lim (\frac{t ^{10} + t ^{5} + 1}{t - 1})

d er i v a t i v e 1936 - 16 t^{2}

d er i v a t i v e \frac{x}{x - 5}

s l o p e (3.2) (5.6)