integral of (y^2+1)/((y-1)^2(y+1))

解

\int \frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

\frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1} + C

解答ステップ

\int \frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

拡張

\frac{y ^{2} + 1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} : \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} + \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y + \int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y

\int \frac{y ^{2}}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y = \frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

\int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} ( y + 1 )} d y = - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

= \frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣

簡素化

\frac{3}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{2 ( y - 1 )} + \frac{1}{4} ln ∣ y + 1 ∣ : \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1}

= \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y + 1 ∣ - \frac{1}{y - 1} + C