integral of sin^2(2t)cos(2t)

解

\int sin^{2} (2 t) cos (2 t) d t

\frac{1}{12} (sin (6 t) - 3 sin (2 t) cos (4 t)) + C

解答ステップ

\int sin^{2} (2 t) cos (2 t) d t

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} cos (2 t) (1 - cos (4 t)) d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (2 t) (1 - cos (4 t)) d t

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 t) (1 - cos (4 t)) - \int 2 sin (4 t) sin (2 t) d t)

\int 2 sin (4 t) sin (2 t) d t = - \frac{1}{6} sin (6 t) + \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 t) (1 - cos (4 t)) - (- \frac{1}{6} sin (6 t) + \frac{1}{2} sin (2 t)))

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 t) (1 - cos (4 t)) - (- \frac{1}{6} sin (6 t) + \frac{1}{2} sin (2 t))) : \frac{1}{12} (sin (6 t) - 3 sin (2 t) cos (4 t))

= \frac{1}{12} (sin (6 t) - 3 sin (2 t) cos (4 t))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{12} (sin (6 t) - 3 sin (2 t) cos (4 t)) + C