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integral of 1/(ax^2+bx)

Lösung

\int \frac{1}{a x ^{2} + b x} d x

\frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ a x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{a x + b}{b} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{a x ^{2} + b x} d x

Faktorisiere

\frac{1}{a x ^{2} + b x}

= \int \frac{1}{x ( a x + b )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ( u - b )} d u

u - b = b (\frac{u}{b} - 1)

= \int \frac{1}{u b ( \frac{u}{b} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{1}{u ( \frac{u}{b} - 1 )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{v ( v - 1 )} : - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}

= \frac{1}{b} \cdot \int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{b} (- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{1}{b} (- ln ∣ v ∣ + ln ∣ v - 1 ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{b} (- ln \frac{a x + b}{b} + ln \frac{a x + b}{b} - 1)

Wende Absoluteregel an:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{a x + b}{b} = \frac{∣ a x + b ∣}{∣ b ∣}

= \frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ a x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{a x + b}{b} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ a x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{a x + b}{b} - 1) + C

\int \frac{sin ( 2 x )}{43 + cos ^{2} ( x )} d x

y^{^{'}} + 4 y = cos (x)

a re a 6 x - 18, [2, 6]

\int - 9 csc^{2} (x) d x

d er i v a t i v e g (x) = 9 - x^{2}