integral of x^2sqrt(5-x^2)

Lösung

\int x^{2} 5 - x^{2} d x

\frac{25}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 5 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 25 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 25 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 25 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{5} x)

ein

= 25 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Vereinfache

25 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x))) : \frac{25}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x)))

= \frac{25}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{25}{8} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

x \to 2 lim (g (x))

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (4 x^{3} y)

\frac{d}{d x} (\frac{x + x}{x})

a re a 6 - x^{2}, x