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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x+sqrt(1-x^2))

解

\int \frac{1}{x + 1 - x ^{2}} d x

解

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln x + 1 - x^{2} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x + 1 - x ^{2}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{cos ( u )}{sin ( u ) + cos ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} + \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{2} d u + \int \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u

\int \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} u

\int \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ sin (u) + cos (u) ∣

= \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} ln ∣ sin (u) + cos (u) ∣

代用を戻す

u = arcsin (x)

= \frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln ∣ sin (arcsin (x)) + cos (arcsin (x)) ∣

簡素化

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln ∣ sin (arcsin (x)) + cos (arcsin (x)) ∣ : \frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln x + 1 - x^{2}

= \frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln x + 1 - x^{2}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} ln x + 1 - x^{2} + C

グラフ

人気の例

積分記号 1/(x^2)

in t e g r a l \frac{1}{x ^{2}}

integral of (1-x)/(sqrt(9-4x^2))

\int \frac{1 - x}{9 - 4 x ^{2}} d x

integral of x/(sqrt(2-3x^2))

\int \frac{x}{2 - 3 x ^{2}} d x

integral of (x^2+1)/((x+1)^2(x-1))

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 )} d x

integral of 1/(x^2(1+x^2))

\int \frac{1}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} d x