integral of x/((1-x)^3)

Lösung

\int \frac{x}{( 1 - x ) ^{3}} d x

- \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{2 ( 1 - x ) ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{( 1 - x ) ^{3}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{- u + 1}{u ^{3}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{- u + 1}{u ^{3}} d u

Multipliziere aus

\frac{- u + 1}{u ^{3}} : - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u ^{3}}

= - \int - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u ^{3}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u ^{3}} d u)

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u ^{3}} d u = - \frac{1}{2 u ^{2}}

= - (- (- \frac{1}{u}) - \frac{1}{2 u ^{2}})

Setze in

u = 1 - x

ein

= - (- (- \frac{1}{1 - x}) - \frac{1}{2 ( 1 - x ) ^{2}})

Vereinfache

= - \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{2 ( 1 - x ) ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{2 ( 1 - x ) ^{2}} + C

\int \frac{1}{x ( 1 + x )} d x

\int \frac{x + 1 + tanh ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

\int \frac{1}{1 + 3 x + 2} d x

\int \frac{1}{sin ^{3} ( x ) cos ( x )} d x

\int \frac{3 x ^{3}}{1 - x ^{4}} d x