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人気のある微分積分 >

integral of (xe^{-x})/((1+e^{-x))^2}

解

\int \frac{x e ^{- x}}{( 1 + e ^{- x} ) ^{2}} d x

解

\frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x e ^{- x}}{( 1 + e ^{- x} ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{ln ( u )}{( 1 + u ) ^{2}} d u

部分積分を適用する

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - \int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u

\int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u = - ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣)

代用を戻す

u = e^{- x}

= - \frac{ln ( e ^{- x} )}{1 + e ^{- x}} - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} + 1)

簡素化

- \frac{ln ( e ^{- x} )}{1 + e ^{- x}} - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} + 1) : \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1

= \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1

定数を解答に追加する

= \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1 + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(xsqrt(5x^2-4))

\int \frac{1}{x 5 x ^{2} - 4} d x

integral of (5e^{4x})/(sqrt(e^{4x)+3)}

\int \frac{5 e ^{4 x}}{e ^{4 x} + 3} d x

integral of 1/(x*ln(x)ln(ln(x)))

\int \frac{1}{x \cdot ln ( x ) ln ( ln ( x ) )} d x

integral of (2t^3-t^2+2t+4)/(1+t^2)

\int \frac{2 t ^{3} - t ^{2} + 2 t + 4}{1 + t ^{2}} d t

integral of arccos(sqrt(x))

\int arccos (x) d x