integral of x/((x+1)(2x+1))

Lösung

\int \frac{x}{( x + 1 ) ( 2 x + 1 )} d x

\frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 2 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{( x + 1 ) ( 2 x + 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - 1}{2 u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= \frac{1}{2} (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = 2 x + 1

ein

= \frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 1 + 1 ∣)

Vereinfache

\frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 1 + 1 ∣) : \frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 2 ∣)

= \frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 2 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + 2 ln ∣ 2 x + 2 ∣) + C

\int (sec^{2} (x) + sin (x)) d x

\int \frac{8}{x ^{9}} d x

\int (4 x^{2} + 1)^{2} d x

\int \frac{1}{( cos ^{2} ( x ) )} d x

\int 7 x - x^{2} d x