integral of e^xsin(x)cos(x)

Lösung

\int e^{x} sin (x) cos (x) d x

- \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{x} sin (x) cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} e^{x} sin (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} sin (2 x) d x

Wende die partielle Integration an

: - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} cos (2 x) d x))

Wende die partielle Integration an

: e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Deshalb

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Isoliere

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

\int \frac{9}{( t - 8 ) ^{2}} d t

\int (2 x + a) cos (x) d x

\int \frac{x ^{4}}{x ^{3} - 8} d x

\int \frac{x + 1}{( x ^{2} + 2 x + 5 ) ^{2}} d x

\int sin (7 x) + 5 cos (4 x) d x