integral of e^x(2-e^x)^{10}

解答

\int e^{x} (2 - e^{x})^{10} d x

1024 e^{x} - 2560 e^{2 x} + 3840 e^{3 x} - 3840 e^{4 x} + 2688 e^{5 x} - 1344 e^{6 x} + 480 e^{7 x} - 120 e^{8 x} + 20 e^{9 x} - 2 e^{10 x} + \frac{1}{11} e^{11 x} + C

求解步骤

\int e^{x} (2 - e^{x})^{10} d x

乘开

e^{x} (2 - e^{x})^{10} : 1024 e^{x} - 5120 e^{2 x} + 11520 e^{3 x} - 15360 e^{4 x} + 13440 e^{5 x} - 8064 e^{6 x} + 3360 e^{7 x} - 960 e^{8 x} + 180 e^{9 x} - 20 e^{10 x} + e^{11 x}

= \int 1024 e^{x} - 5120 e^{2 x} + 11520 e^{3 x} - 15360 e^{4 x} + 13440 e^{5 x} - 8064 e^{6 x} + 3360 e^{7 x} - 960 e^{8 x} + 180 e^{9 x} - 20 e^{10 x} + e^{11 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1024 e^{x} d x - \int 5120 e^{2 x} d x + \int 11520 e^{3 x} d x - \int 15360 e^{4 x} d x + \int 13440 e^{5 x} d x - \int 8064 e^{6 x} d x + \int 3360 e^{7 x} d x - \int 960 e^{8 x} d x + \int 180 e^{9 x} d x - \int 20 e^{10 x} d x + \int e^{11 x} d x

\int 1024 e^{x} d x = 1024 e^{x}

\int 5120 e^{2 x} d x = 2560 e^{2 x}

\int 11520 e^{3 x} d x = 3840 e^{3 x}

\int 15360 e^{4 x} d x = 3840 e^{4 x}

\int 13440 e^{5 x} d x = 2688 e^{5 x}

\int 8064 e^{6 x} d x = 1344 e^{6 x}

\int 3360 e^{7 x} d x = 480 e^{7 x}

\int 960 e^{8 x} d x = 120 e^{8 x}

\int 180 e^{9 x} d x = 20 e^{9 x}

\int 20 e^{10 x} d x = 2 e^{10 x}

\int e^{11 x} d x = \frac{1}{11} e^{11 x}

= 1024 e^{x} - 2560 e^{2 x} + 3840 e^{3 x} - 3840 e^{4 x} + 2688 e^{5 x} - 1344 e^{6 x} + 480 e^{7 x} - 120 e^{8 x} + 20 e^{9 x} - 2 e^{10 x} + \frac{1}{11} e^{11 x}

解答补常数

= 1024 e^{x} - 2560 e^{2 x} + 3840 e^{3 x} - 3840 e^{4 x} + 2688 e^{5 x} - 1344 e^{6 x} + 480 e^{7 x} - 120 e^{8 x} + 20 e^{9 x} - 2 e^{10 x} + \frac{1}{11} e^{11 x} + C

\int (8^{x}) d x

\int \frac{sec ^{2} ( x )}{sin ( x )} d x

\int 1 - cos (θ) d θ

\int (tan (2 x) - sec (2 x))^{2} d x

\int 11 sin (x) d x