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integral of (x^2)/((1+x^2)^3)

解

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

解

\frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x))) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{sec ^{6} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

代用を戻す

u = arctan (x)

= \frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x)))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{8} (arctan (x) - \frac{1}{4} sin (4 arctan (x))) + C

グラフ

人気の例

integral of (5x)/(x^2+3)

\int \frac{5 x}{x ^{2} + 3} d x

integral of x/(sqrt(16-4x^2))

\int \frac{x}{16 - 4 x ^{2}} d x

integral of 1/(4x^7)

\int \frac{1}{4 x ^{7}} d x

integral of (9^x)

\int (9^{x}) d x

integral of ((x^2))/(sqrt(x^3+5))

\int \frac{( x ^{2} )}{x ^{3} + 5} d x