integral of x/(x^3+2)

Lösung

\int \frac{x}{x ^{3} + 2} d x

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{x ^{3} + 2} d x

x^{3} + 2 = 2 (\frac{x ^{3}}{2} + 1)

= \int \frac{x}{2 ( \frac{x ^{3}}{2} + 1 )} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

Wende U-Substitution an

: \int \frac{2 ^{\frac{2}{3}} u}{u ^{3} + 1} d u

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 ^{\frac{2}{3}} u}{u ^{3} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot \int \frac{u}{u ^{3} + 1} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u}{u ^{3} + 1} : - \frac{1}{3 ( u + 1 )} + \frac{u + 1}{3 ( u ^{2} - u + 1 )}

= \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot \int - \frac{1}{3 ( u + 1 )} + \frac{u + 1}{3 ( u ^{2} - u + 1 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} (- \int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u + \int \frac{u + 1}{3 ( u ^{2} - u + 1 )} d u)

\int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣

\int \frac{u + 1}{3 ( u ^{2} - u + 1 )} d u = \frac{1}{6} (ln 4 u^{2} - 4 u + 4 + 23 arctan (\frac{2 u - 1}{3}))

= \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣ + \frac{1}{6} (ln 4 u^{2} - 4 u + 4 + 23 arctan (\frac{2 u - 1}{3})))

Setze in

ein

Vereinfache

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

\int 5 x x - 2 d x

\int (8 x + 10) (7 - 2 x^{2} - 5 x)^{3} d x

\int - 0.08 x + 64 d x

\int x^{3} 8 + x^{4} d x

\int \frac{x}{1 - 6 x ^{4}} d x