integral of 1/((sin(2x)+2sin(x)))

Lösung

\int \frac{1}{( sin ( 2 x ) + 2 sin ( x ) )} d x

\frac{1}{4} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} + ln tan (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{sin ( 2 x ) + 2 sin ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x ) + 2 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{2} + 1}{4 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{u ^{2} + 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u ^{2} + 1}{u} : u + \frac{1}{u}

= \frac{1}{4} \cdot \int u + \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int u d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= \frac{1}{4} (\frac{u ^{2}}{2} + ln ∣ u ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= \frac{1}{4} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} + ln tan (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (\frac{tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}{2} + ln tan (\frac{x}{2})) + C

\int (a x + 2) cos (x) d x

\int (x + 1) sin^{2} (x) d x

\int \frac{e ^{6 x}}{e ^{6 x} + 4} d x

\int \frac{3 x}{1 + x} d x

\int \frac{x}{4 + 25 x ^{2}} d x