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integral of (4x^2)/((x^2-9)^{3/2)}

解答

\int \frac{4 x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解答

4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x)) + C

求解步骤

\int \frac{4 x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

使用三角换元法

= 4 \cdot \int sec^{3} (u) cot^{2} (u) d u

使用三角恒等式改写

= 4 \cdot \int \frac{csc ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

使用分布积分法

= 4 (- csc (u) - \int - sec (u) d u)

\int - sec (u) d u = - ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 4 (- csc (u) - (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣))

u = arcsec (\frac{1}{3} x)

代回

= 4 (- csc (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x))))

化简

4 (- csc (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x)))) : 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x))

= 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x))

解答补常数

= 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x)) + C

作图

流行的例子

integral of (e^{-x})/(e^{-2x)+1}

\int \frac{e ^{- x}}{e ^{- 2 x} + 1} d x

integral of (x^2-2x+3)/(sqrt(x))

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 3}{x} d x

integral of 9/(sqrt(2-3x))

\int \frac{9}{2 - 3 x} d x

integral of (1+tan(x))/(sec(x))

\int \frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )} d x

integral of e^{t^2}t

\int e^{t^{2}} t d t