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integral of 1/(1+e^x+e^{-x)}

Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{x} + e ^{- x}} d x

- \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{- x} + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{x} + e ^{- x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u + 1 + u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u + 1 + u ^{2}} d u

Vervollständige das Quadrat

u + 1 + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= - \int \frac{1}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{4}{4 v ^{2} + 3} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} + 3} d v

Wende integrale Substitution an

= - 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= - 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (w)

Ersetze zurück

= - 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (e^{- x} + \frac{1}{2}))

Vereinfache

- 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (e^{- x} + \frac{1}{2})) : - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{- x} + 1))

= - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{- x} + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{- x} + 1)) + C

\int - \frac{1}{( x + 1 )} d x

\int x (1 + x^{2})^{2} d x

\int \frac{6 x ^{2}}{( x ^{3} - 7 ) ^{4}} d x

\int tan (x) (sec (x) - tan (x)) d x

\int z ln (z) d z