integral of sin^2(x)cos^2(3x)

解

\int sin^{2} (x) cos^{2} (3 x) d x

\frac{1}{2} cos^{2} (3 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + \frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x cos (6 x) + \frac{1}{36} sin (6 x) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{8} sin (8 x) + \frac{1}{4} sin (4 x))) + C

解答ステップ

\int sin^{2} (x) cos^{2} (3 x) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} cos^{2} (3 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) - \int - \frac{3}{2} sin (6 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) d x

\int - \frac{3}{2} sin (6 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) d x = - \frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x cos (6 x) + \frac{1}{36} sin (6 x) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{8} sin (8 x) + \frac{1}{4} sin (4 x)))

= \frac{1}{2} cos^{2} (3 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) - (- \frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x cos (6 x) + \frac{1}{36} sin (6 x) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{8} sin (8 x) + \frac{1}{4} sin (4 x))))

簡素化

= \frac{1}{2} cos^{2} (3 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + \frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x cos (6 x) + \frac{1}{36} sin (6 x) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{8} sin (8 x) + \frac{1}{4} sin (4 x)))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} cos^{2} (3 x) (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + \frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x cos (6 x) + \frac{1}{36} sin (6 x) - \frac{1}{4} (- \frac{1}{8} sin (8 x) + \frac{1}{4} sin (4 x))) + C