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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x(x^2+α))

解

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + α )} d x

解

\frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + α )} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{2 u ( u + α )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ( u + α )} d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( v - α ) v} d v

v - α = α (\frac{v}{α} - 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{α ( \frac{v}{α} - 1 ) v} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int \frac{1}{( \frac{v}{α} - 1 ) v} d v

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int \frac{1}{w ( w - 1 )} d w

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{w ( w - 1 )} : - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} \cdot \int - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1} d w

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- \int \frac{1}{w} d w + \int \frac{1}{w - 1} d w)

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

\int \frac{1}{w - 1} d w = ln ∣ w - 1 ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln ∣ w ∣ + ln ∣ w - 1 ∣)

代用を戻す

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln \frac{x ^{2} + α}{α} + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

簡素化

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{α} (- ln \frac{x ^{2} + α}{α} + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) : \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

= \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2 α} (- ln (\frac{x ^{2} + α}{∣ α ∣}) + ln \frac{x ^{2} + α}{α} - 1) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(sqrt(5-9x^2))

\int \frac{1}{5 - 9 x ^{2}} d x

integral of (5x+2)^4

\int (5 x + 2)^{4} d x

integral of In(x+1)

\int I n (x + 1) d x

integral of x^{1/2}+9

\int x^{\frac{1}{2}} + 9 d x

integral of (4x+5)^6

\int (4 x + 5)^{6} d x