интеграл от sqrt(4x-x^2-3)

Решение

\int 4 x - x^{2} - 3 d x

\frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2))) + C

Шаги решения

\int 4 x - x^{2} - 3 d x

Заполните квадрат

4 x - x^{2} - 3 : - (x - 2)^{2} + 1

= \int - (x - 2)^{2} + 1 d x

Применить подстановку интеграла

: \int - u^{2} + 1 d u

= \int - u^{2} + 1 d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int cos^{2} (v) d v

= \int cos^{2} (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2)))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2))) + C