integral 1/((1+x^2)^2)

Lösung

integral

\frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

\int \frac{2 x}{6 x - x ^{2}} d x

\int \frac{2 x - 3}{x ^{2} - 3 x + 1} d x

\int sin (4 x) e^{c o s (4 x)} d x

\int (4 + x^{2})^{\frac{1}{2}} d x

\int \frac{1}{A} d A