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intégrale de 1/(2sin(x)+1)

Solution

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 1} d x

- \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1) + C

étapes des solutions

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 1} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

: \int \frac{2}{4 u + 1 + u ^{2}} d u

= \int \frac{2}{4 u + 1 + u ^{2}} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u + 1 + u ^{2}} d u

Compléter la carré

4 u + 1 + u^{2} : (u + 2)^{2} - 3

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u + 2 ) ^{2} - 3} d u

Appliquer l'intégration par subsitution

: \int \frac{1}{v ^{2} - 3} d v

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 3} d v

Appliquer l'intégration par subsitution

= 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( w ^{2} - 1 )} d w

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Factoriser

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Utiliser l'intégrale commune:

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{3} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Rétrosubstituer

= 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1}{2}

Simplifier

2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1}{2} : - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1)

= - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1)

Ajouter une constante à la solution

= - \frac{1}{3} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 2}{3} - 1) + C

\int x + x^{4} d x

\int (x + 1) e^{2 x + 1} d x

\int 48 x^{- \frac{1}{5}} tan (x^{\frac{4}{5}}) d x

\int \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) \cdot ln ( x + 1 + x ^{2} )} d x

\int (x^{2} - 2 x - 15) d x