интеграл от 1/(x+sqrt(1+x))

Решение

\int \frac{1}{x + 1 + x} d x

ln 4 x + 4 x + 1 + \frac{1}{5} (ln \frac{2 1 + x + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 1 + x + 1}{5} - 1) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x + 1 + x} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{2 u}{u ^{2} - 1 + u} d u

= \int \frac{2 u}{u ^{2} - 1 + u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} - 1 + u} d u

Заполните квадрат

u^{2} - 1 + u : (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{2 ( 2 v - 1 )}{4 v ^{2} - 5} d v

= 2 \cdot \int \frac{2 ( 2 v - 1 )}{4 v ^{2} - 5} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{2 v - 1}{4 v ^{2} - 5} d v

Расширить

\frac{2 v - 1}{4 v ^{2} - 5} : \frac{2 v}{4 v ^{2} - 5} - \frac{1}{4 v ^{2} - 5}

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int \frac{2 v}{4 v ^{2} - 5} d v - \int \frac{1}{4 v ^{2} - 5} d v)

\int \frac{2 v}{4 v ^{2} - 5} d v = \frac{1}{4} ln 4 v^{2} - 5

\int \frac{1}{4 v ^{2} - 5} d v = - \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} v + 1 - ln \frac{2}{5} v - 1)

= 2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 v^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} v + 1 - ln \frac{2}{5} v - 1)))

Делаем обратную замену

= 2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 (1 + x + \frac{1}{2})^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} (1 + x + \frac{1}{2}) + 1 - ln \frac{2}{5} (1 + x + \frac{1}{2}) - 1)))

Упростите

2 \cdot 2 (\frac{1}{4} ln 4 (1 + x + \frac{1}{2})^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} (1 + x + \frac{1}{2}) + 1 - ln \frac{2}{5} (1 + x + \frac{1}{2}) - 1))) : ln 4 x + 4 x + 1 + \frac{1}{5} (ln \frac{2 1 + x + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 1 + x + 1}{5} - 1)

= ln 4 x + 4 x + 1 + \frac{1}{5} (ln \frac{2 1 + x + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 1 + x + 1}{5} - 1)

Добавить константу к решению

= ln 4 x + 4 x + 1 + \frac{1}{5} (ln \frac{2 1 + x + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 1 + x + 1}{5} - 1) + C