integral of 1/(e^{2x)-e^{-2x}}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}} d x

\frac{1}{4} ln (tanh (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( e ^{u} - e ^{- u} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{e ^{u} - e ^{- u}} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 sinh ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sinh ( u )} d u

Hyperbolische Identität anwenden:

\frac{1}{sinh ( x )} = csch (x)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int csch (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int csch (u) d u = ln (tanh (\frac{u}{2}))

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{u}{2}))

Setze in

u = 2 x

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{2 x}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{2 x}{2})) : \frac{1}{4} ln (tanh (x))

= \frac{1}{4} ln (tanh (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} ln (tanh (x)) + C

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 4 x + 4} d x

\int \frac{1}{- 4 x ^{2} + 5} d x

\int ln (x + 6) d x

\int (x + 2) e^{3 x} d x

\int \frac{- 7 x ^{3}}{x ^{2} + 9} d x