integral of sin^4(4x)cos^4(4x)

Lösung

\int sin^{4} (4 x) cos^{4} (4 x) d x

\frac{1}{1024} (24 x - 4 sin^{3} (4 x) cos (4 x) - 3 sin (8 x) + 48 sin^{5} (4 x) cos (4 x) - 32 sin^{7} (4 x) cos (4 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (4 x) cos^{4} (4 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) cos^{4} (u) \frac{1}{4} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{4} (u) cos^{4} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} d u

Multipliziere aus

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} : sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u)

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int sin^{4} (u) d u - \int 2 sin^{6} (u) d u + \int sin^{8} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

\int 2 sin^{6} (u) d u = 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

\int sin^{8} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)) - 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))) - \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))))

Setze in

u = 4 x

ein

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)) - 2 (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)))) - \frac{cos ( 4 x ) sin ^{7} ( 4 x )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)))))

Vereinfache

\frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)) - 2 (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)))) - \frac{cos ( 4 x ) sin ^{7} ( 4 x )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x))))) : \frac{1}{1024} (24 x - 4 sin^{3} (4 x) cos (4 x) - 3 sin (8 x) + 48 sin^{5} (4 x) cos (4 x) - 32 sin^{7} (4 x) cos (4 x))

= \frac{1}{1024} (24 x - 4 sin^{3} (4 x) cos (4 x) - 3 sin (8 x) + 48 sin^{5} (4 x) cos (4 x) - 32 sin^{7} (4 x) cos (4 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{1024} (24 x - 4 sin^{3} (4 x) cos (4 x) - 3 sin (8 x) + 48 sin^{5} (4 x) cos (4 x) - 32 sin^{7} (4 x) cos (4 x)) + C

\int \frac{y}{z} d z

\int x x^{2} - 8 d x

\int (x - 1) d x

\int - \frac{1}{r} d r

\int 7 x^{3} 9 - x^{2} d x