integral of ((x^2-2x))/((x-1)^2)

解

\int \frac{( x ^{2} - 2 x )}{( x - 1 ) ^{2}} d x

x + \frac{1}{x - 1} - 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} d x

拡張

\frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} : \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{2 x}{( x - 1 ) ^{2}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} d x - \int \frac{2 x}{( x - 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} d x = x - 1 + 2 ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1}

\int \frac{2 x}{( x - 1 ) ^{2}} d x = 2 (ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1})

= x - 1 + 2 ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1} - 2 (ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1})

簡素化

x - 1 + 2 ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1} - 2 (ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{x - 1}) : x + \frac{1}{x - 1} - 1

= x + \frac{1}{x - 1} - 1

定数を解答に追加する

= x + \frac{1}{x - 1} - 1 + C