integral of e^{-(u^2)/2}

Lösung

\int e^{- \frac{u ^{2}}{2}} d u

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{u}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- \frac{u ^{2}}{2}} d u

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{u ^{2}}{2} = (\frac{u}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{u}{2})^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \int e^{- v^{2}} 2 d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- v^{2}} d v

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- v^{2}} d v = \frac{π}{2} erf (v)

= 2 \frac{π}{2} erf (v)

Setze in

v = \frac{u}{2}

ein

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{u}{2})

Vereinfache

2 \frac{π}{2} erf (\frac{u}{2}) : (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{u}{2})

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{u}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{u}{2}) + C

\int \frac{e ^{- x} - 1}{e ^{- x} + 1} d x

\int x^{9} (5 + x^{10}) d x

\int cos (2 x) 16 d x

\int \frac{x - 1}{x ^{2} + 4 x + 3} d x

\int 9 x^{2} sin (x) d x