integral of (x^2+6x)cos(2x)

解

\int (x^{2} + 6 x) cos (2 x) d x

\frac{1}{2} x^{2} sin (2 x) + 3 x sin (2 x) + \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{3}{2} cos (2 x) - \frac{1}{4} sin (2 x) + C

解答ステップ

\int (x^{2} + 6 x) cos (2 x) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} sin (2 x) (x^{2} + 6 x) - \int sin (2 x) (x + 3) d x

\int sin (2 x) (x + 3) d x = - \frac{1}{2} cos (2 x) (x + 3) + \frac{1}{4} sin (2 x)

= \frac{1}{2} sin (2 x) (x^{2} + 6 x) - (- \frac{1}{2} cos (2 x) (x + 3) + \frac{1}{4} sin (2 x))

簡素化

\frac{1}{2} sin (2 x) (x^{2} + 6 x) - (- \frac{1}{2} cos (2 x) (x + 3) + \frac{1}{4} sin (2 x)) : \frac{1}{2} x^{2} sin (2 x) + 3 x sin (2 x) + \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{3}{2} cos (2 x) - \frac{1}{4} sin (2 x)

= \frac{1}{2} x^{2} sin (2 x) + 3 x sin (2 x) + \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{3}{2} cos (2 x) - \frac{1}{4} sin (2 x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x^{2} sin (2 x) + 3 x sin (2 x) + \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{3}{2} cos (2 x) - \frac{1}{4} sin (2 x) + C