интеграл от 4sqrt(4-y^2)

Решение

\int 4 4 - y^{2} d y

8 (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y))) + C

Шаги решения

\int 4 4 - y^{2} d y

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int 4 - y^{2} d y

Примените тригонометрическую подстановку

: \int 4 cos^{2} (u) d u

= 4 \cdot \int 4 cos^{2} (u) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 4 \cdot 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Делаем обратную замену

u = arcsin (\frac{1}{2} y)

= 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y)))

Упростите

4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y))) : 8 (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y)))

Добавить константу к решению

= 8 (arcsin (\frac{1}{2} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} y))) + C