integral of 1/(sin^2(x)+5cos^2(x))

Lösung

\int \frac{1}{sin ^{2} ( x ) + 5 cos ^{2} ( x )} d x

\frac{1}{5} arctan (\frac{tan ( x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{sin ^{2} ( x ) + 5 cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{1 + 4 cos ^{2} ( x )} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{u ^{2} + 5} d u

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{5 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{5} arctan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{5} arctan (\frac{tan ( x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} arctan (\frac{tan ( x )}{5}) + C

\int \frac{1}{( 8 + x ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{3}}{4 - x ^{8}} d x

\int 3 arctan (3 x) d x

\int (3 x - 4)^{6} d x

\int 5 sin (x) - 4 cos (x) d x