интеграл от 1/(cos^2(x)+3)

Решение

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) + 3} d x

\frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (x)) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) + 3} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{2}{cos ( 2 x ) + 7} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ( 2 x ) + 7} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 7 )} d u

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 7 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ( u ) + 7} d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{3 v ^{2} + 4} d v

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{3 v ^{2} + 4} d v

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 3} arctan (w)

Делаем обратную замену

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{2 x}{2}))

Упростите

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{2 x}{2})) : \frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (x))

= \frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (x))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2 3} arctan (\frac{3}{2} tan (x)) + C