integral of ((1+e^x)^2)/(e^{3x)}

解

\int \frac{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}{e ^{3 x}} d x

- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - e^{- 2 x} - \frac{1}{e ^{x}} + C

解答ステップ

\int \frac{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}{e ^{3 x}} d x

拡張

\frac{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}{e ^{3 x}} : \frac{1}{e ^{3 x}} + \frac{2}{e ^{2 x}} + \frac{1}{e ^{x}}

= \int \frac{1}{e ^{3 x}} + \frac{2}{e ^{2 x}} + \frac{1}{e ^{x}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{e ^{3 x}} d x + \int \frac{2}{e ^{2 x}} d x + \int \frac{1}{e ^{x}} d x

\int \frac{1}{e ^{3 x}} d x = - \frac{1}{3} e^{- 3 x}

\int \frac{2}{e ^{2 x}} d x = - e^{- 2 x}

\int \frac{1}{e ^{x}} d x = - \frac{1}{e ^{x}}

= - \frac{1}{3} e^{- 3 x} - e^{- 2 x} - \frac{1}{e ^{x}}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} e^{- 3 x} - e^{- 2 x} - \frac{1}{e ^{x}} + C