integral of 3xcsc(3x)cot(3x)

解

\int 3 x csc (3 x) cot (3 x) d x

- x csc (3 x) + \frac{1}{3} ln tan (\frac{3 x}{2}) + C

解答ステップ

\int 3 x csc (3 x) cot (3 x) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x csc (3 x) cot (3 x) d x

部分積分を適用する

= 3 (- \frac{1}{3} x csc (3 x) - \int - \frac{1}{3} csc (3 x) d x)

\int - \frac{1}{3} csc (3 x) d x = - \frac{1}{9} ln tan (\frac{3 x}{2})

= 3 (- \frac{1}{3} x csc (3 x) - (- \frac{1}{9} ln tan (\frac{3 x}{2})))

簡素化

3 (- \frac{1}{3} x csc (3 x) - (- \frac{1}{9} ln tan (\frac{3 x}{2}))) : - x csc (3 x) + \frac{1}{3} ln tan (\frac{3 x}{2})

= - x csc (3 x) + \frac{1}{3} ln tan (\frac{3 x}{2})

定数を解答に追加する

= - x csc (3 x) + \frac{1}{3} ln tan (\frac{3 x}{2}) + C