integral of 1/(t^2+t+1)

Lösung

\int \frac{1}{t ^{2} + t + 1} d t

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{t ^{2} + t + 1} d t

Vervollständige das Quadrat

t^{2} + t + 1 : (t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( t + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (t + \frac{1}{2}))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (t + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3}) + C

\int \frac{11 - x}{14 - x} d x

\int cosh^{2} (2 x) d x

\int x (x - 3) d x

\int e^{x} g (e^{x}) d x

\int \frac{x ^{6} e ^{x} - 5 x ^{5}}{x ^{6}} d x